人工智能 ｜ 03 破开迷雾，回归本真
发现数据中隐藏的知识就像是拨开一团捉摸不定的迷雾，顺着些许线索回归真正的道路。
上文说到，联结主义是今天人工智能领域最主流的实现方式。
相比于“符号主义”将知识理解为符号，在“联结主义”中，知识是一组方程（函数），它们之间互相关联，形成一个类似于“大脑”的结构，所以亦称作神经网络。
和人类大脑的机制非常相似，一个神经网络在刚诞生的时候，它也是一张白纸，什么知识都没有，需要通过后天的学习，才能掌握知识。
可是神经网络本质上只是一些方程啊？方程也会学习吗？
为了理解这个问题，让我们从最简单的一元一次方程开始聊起。
方程中的参数
一个典型的一元一次方程，如下所示：
$$ y=ax+b $$其中x是自变量，y是因变量，a和b是方程的参数。
通常情况下，我们会很关注方程中的x和y，比如在求解方程的解时等。但在这里，我们将更加关注参数部分。
参数很有用，不同的参数决定了方程的功能和效果。
这就像使用洗衣机的时候，我们虽然目的是将衣服洗干净，但为此我们需要首先在洗衣机面板上设定好合适的参数，比如时长、水量、转速等等，不同的参数会影响洗衣的效果。
方程的参数正决定了它所描述的规律。比如在这个猜数字的题中，我们就可以使用$y=2x-2$来描述，这时参数$a=2$，参数$b=-2$。
有了这个方程，我们就可以预测出这个数列中任意一位的数字，也就意味着掌握了知识。
使用可视化的方法在平面直角坐标系中绘制出一元一次方程，它将被表示为一条直线，这时可以更加直观的看到不同的参数对直线形态的影响。
神经网络学习的本质，就是在寻找方程的最佳参数，使其尽可能最拟合数据的真实规律，这个过程又称作回归。
特别的，一元一次方程在坐标系中表现为一条直线，因此针对一元一次方程的回归问题，也称作线性回归。
线性回归
线性回归是最简单的回归模型，非常适合用于发现事物之间的线性关系。
比如在下图所示的电路中，如果增加成倍电压，可以看到电流也会成倍增加。
| 电压（V） | 电流（mA） |
|---|---|
| 5 | 5 |
| 10 | 10 |
| 20 | 20 |
通过观察测量结果，我们发现电压与电流的比总为一个常数，aka欧姆定律。
$$ V = IR $$其中，I为电流，V为电压，R为电阻。
如果仍然使用x、y、a字母来表示电流、电压和电阻的话，还可以写做：
$$ y=ax $$这是一个典型的一元一次方程，说明x和y之间（也就是电流和电压之间）存在着线性关系。
由于受测量方法和工具的限制，我们并不一定总能测得最精确的数据。随着测量次数的增加，会发现测量数据并不总是保持相同比例。
| 电压（V） | 电流（mA） |
|---|---|
| … | … |
| 2.5 | 2.8 |
| 5 | 4.6 |
| … | … |
将所有数据可视化到坐标系中，会发现无论如何都不可能找不到一条直线，将所有的点连起来。
我们相信这些数据点的偏差是由误差导致的，本质上电压和电流一定成线性关系，我们是否可以拨开遮挡真相的迷雾，找到那条本质的直线呢？
最小二乘法
让我们尝试着调整参数a的取值，绘制出多条直线，如图所示。
我们能直观的感受到，a=1的直线，相比a=0.9和a=1.1的直线更好，相对来说a=1更好的串联了这些数据点，尽管还有一些数据点“损失”掉了。
为了计算比较不同直线的优劣，我们定义一个函数来量化“损失”的大小，这就是损失函数！
损失函数是神经网络中最重要的概念之一，我们会在后面的文章中经常碰到它。最常用的一种损失函数是均方误差。
所谓误差，使指测量点到回归直线之间的距离（差值） $(ax_i - y_i)$ 。
考虑到这个距离（差值）有正有负，可以通过平方统一他们的符号，因为任何实数的平方都大于等于0。
然后$ \frac{\sum(各点的误差)^2}{n} $，即求误差平方和的平均值，以避免数字过大不方便后续运算。
我们要寻找的真相就是“使均方误差最小时的参数a的值”，因此这个方法被称作“最小二乘法”。
整体的公式如下：
$$ cost = \frac{\sum_{i=1}^n (ax_i - y_i)^2}{n} $$
求解最小二乘
如果对均方误差去括号化简，合并同类项，会得到一个形如这样的结果：
$$ cost = (\sum x^2)a^2 + (-\sum 2xy)a + \dots $$这说明，当测量数据确定的情况下，损失函数是一个关于a的二次函数，即抛物线。
此外，$ a^2 $的系数是一些平方项的和，一定大于零，因此抛物线一定开口向上。因此，“使均方误差最小时的参数a的值”就是抛物线的顶点。
我们可以根据顶点坐标公式，快速的求得最优解。
$$ a_{min} = \frac{\sum xy}{\sum x^2} $$
在代码中引入了numpy库，以方便进行向量的运算：
import matplotlib.pyplot as plt
# 引入numpy方便进行向量运算
import numpy as np
# 测量数据转化为np格式
data = np.array([[5, 10, 20, 2.5, 5, 12, 8, 4.8, 18.2, 14.6, 19], [5, 10, 20, 2.8, 4.6, 12.3, 7.3, 5, 18, 15, 18.3 ]])
x = data[0]
y = data[1]
# 顶点坐标公式
a = np.sum(x * y) / np.sum(x ** 2)
print(a)
# 绘制散点图
plt.scatter(data[0], data[1], label="Data")
# 绘制直线图
plt.plot([0,20], [0,20*a], c='red', label=f"a={a}")
# 显示图例
plt.legend()
# 显示图像
plt.show()
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